حل تمرین صفحه 81 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 1 صفحه 81 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین شامل دو مرحله کلیدی است: **محاسبه مشتق تابع در یک نقطه** و سپس **نوشتن معادله خط مماس** در آن نقطه. 📐 **تابع:** $$f(x) = 3x^2 - 2x + 1$$ **نقطه تماس (طول):** $$x_0 = 2$$ --- ## 1. محاسبه مشتق و شیب خط مماس ($f'(2)$) ### گام 1: محاسبه تابع مشتق با استفاده از قوانین مشتق (مشتق $\frac{d}{dx} (ax^n) = n a x^{n-1}$ و مشتق ثابت صفر است): $$f'(x) = \frac{d}{dx} (3x^2 - 2x + 1) = 3(2x) - 2(1) + 0$$ $$f'(x) = 6x - 2$$ ### گام 2: محاسبه $f'(2)$ (شیب خط مماس) شیب خط مماس ($m$) برابر با $f'(2)$ است: $$m = f'(2) = 6(2) - 2 = 12 - 2 = 10$$ * **نتیجه $f'(2)$:** $\mathbf{10}$ --- ## 2. نوشتن معادله خط مماس معادله خط مماس از فرمول $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ به دست می‌آید. ### گام 3: یافتن نقطه تماس $(x_0, y_0)$ طول نقطه تماس $x_0 = 2$ است. عرض ($y_0$) را با جایگذاری در تابع اصلی پیدا می‌کنیم: $$y_0 = f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 3(4) - 4 + 1 = 12 - 4 + 1 = 9$$ * **نقطه تماس:** $$(x_0, y_0) = (2, 9)$$ ### گام 4: جایگذاری در معادله خط با جایگذاری $m = 10$ و نقطه $(2, 9)$: $$y - 9 = 10 (x - 2)$$ $$y - 9 = 10x - 20$$ $$y = 10x - 20 + 9$$ $$y = 10x - 11$$ * **معادله خط مماس نهایی:** $\mathbf{y = 10x - 11}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 2 صفحه 81 حسابان دوازدهم برای نظیر کردن شیب‌ها به نقاط، باید **جهت (مثبت، منفی یا صفر بودن)** و **تندی** خط مماس (شیب) در هر نقطه را از روی نمودار تحلیل کنیم. 📈 --- ## 1. تحلیل شیب (مشتق) در هر نقطه * **نقطه $A$:** تابع **صعودی** است. شیب مثبت و نسبتاً کم است (خط مماس نسبتاً خوابیده). $\mathbf{m_A > 0}$ * **نقطه $B$:** تابع به اوج رسیده و سپس شروع به نزول می‌کند. شیب خط مماس **افقی (صفر)** است. $\mathbf{m_B = 0}$ * **نقطه $C$:** تابع **نزولی** است. شیب منفی و نسبتاً تند است. * **نقطه $D$:** تابع به دره رسیده و سپس شروع به صعود می‌کند. شیب خط مماس **افقی (صفر)** است. (این نقطه یک نقطه اکسترمم محلی است). $\mathbf{m_D = 0}$ * **نقطه $E$:** تابع **صعودی** است. شیب مثبت و نسبتاً تند است. * **نقطه $F$:** تابع **نزولی** است. شیب منفی و نسبتاً کم است. **توجه:** چون دو نقطه $B$ و $D$ دارای شیب صفر هستند، باید بین آن‌ها تفاوت قائل شویم. احتمالاً در جدول، شیب صفر فقط یک بار تکرار شده است، یا یکی از آن‌ها شیبش صفر نیست. با فرض اینکه هر دو قله و دره هستند و فقط یک صفر در جدول داریم، به تندی بقیه نقاط نگاه می‌کنیم: * **شیب‌های مثبت (صعودی):** $A, E$ (مقادیر: $\frac{1}{2}, 1, 2$) * **شیب‌های منفی (نزولی):** $C, F$ (مقادیر: $-3, -1$) ## 2. تخمین و نظیر کردن | شیب | تخمین تندی | نقطه | دلیل | |:---:|:---:|:---:|:---:| | **0** | افقی | **B یا D** | قله یا دره. (فرض می‌کنیم $B$ شیب صفر مطلق دارد.) | | **2** | تندترین صعود | **E** | نمودار در این نقطه با تندی بالایی در حال صعود است. $| | **1** | صعودی متوسط | **A** | شیب $m_A$ از $m_E$ کمتر است. (احتمالاً $A$ شیب 1 و $D$ شیب صفر واقعی دارد.) | | $\frac{1}{2}$ | صعودی خوابیده | **هیچکدام** | این شیب به نظر نمی‌رسد با نقاط صعودی تطابق زیادی داشته باشد. (با فرض خطای دید در نقطه $A$ یا $E$، فعلاً آن را رها می‌کنیم.) | | **-1** | نزولی خوابیده | **F** | نمودار در این نقطه به آرامی نزول می‌کند. $| | **-3** | تندترین نزول | **C** | نمودار در این نقطه با تندی بالایی در حال نزول است. $| ## 3. تکمیل جدول (با فرض اینکه $A$ و $E$ شیب‌های 1 و 2 دارند و $B$ و $D$ شیب‌های 0 و 1/2 دارند) با توجه به شکل و مقادیر: | شیب | نقطه | |:---:|:---:| | **-3** | **C** | | **-1** | **F** | | **0** | **B** (راس بالا) | | **$\frac{1}{2}$** | **D** (شیب مثبت بسیار کم) | | **1** | **A** | | **2** | **E** | **پاسخ نهایی:** $\mathbf{C (-3), F (-1), B (0), D (1/2), A (1), E (2)}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 3 صفحه 81 حسابان دوازدهم این تمرین به مقایسه شیب‌های **خطوط مماس (مشتق)** و **خطوط قاطع** بر روی یک منحنی که **مقعر به پایین (Concave Down)** است، می‌پردازد. 🧐 --- ## 1. محاسبه و تخمین شیب‌ها | مورد | نوع شیب | مقدار / تخمین | $m_i$ | |:---:|:---:|:---:|:---:| | الف) شیب در $A$ | خط مماس در $A$ | $m_A = f'(x_A)$ (مثبت و تند) | $m_1$ | | ب) شیب در $B$ | خط مماس در $B$ | $m_B = f'(x_B)$ (مثبت و خوابیده‌تر) | $m_2$ | | پ) شیب در $C$ | خط مماس در $C$ | $m_C = f'(x_C)$ (مثبت و خوابیده‌تر از $m_B$) | $m_3$ | | ت) شیب خط $AB$ | خط قاطع $AB$ | $m_{AB}$ (شیب خط چین) | $m_4$ | | ث) شیب خط $y = 2$ | خط افقی | $m = 0$ | $m_5$ | | ج) شیب خط $y = x$ | خط مرجع | $m = 1$ | $m_6$ | **نکات از روی نمودار:** 1. **تابع صعودی است:** تمام شیب‌های مماس ($m_A, m_B, m_C$) و شیب خط قاطع ($m_{AB}$) مثبت هستند (بزرگتر از $m_5 = 0$). 2. **مقعر به پایین (Convex):** شیب‌ها با افزایش $x$ **کاهش** می‌یابند. پس: $athbf{m_A > m_B > m_C}$. 3. **رابطه مماس و قاطع:** برای یک تابع مقعر به پایین، شیب خط قاطع ($m_{AB}$) **کمتر** از شیب مماس در نقطه اول ($m_A$) و **بیشتر** از شیب مماس در نقطه دوم ($m_B$) است. $athbf{m_A > m_{AB} > m_B}$ ## 2. مرتب کردن شیب‌ها با استفاده از روابط بالا، ترتیب از کوچک به بزرگ به شرح زیر است: * **کوچک‌ترین:** $m_5 = 0$ (شیب خط افقی $y=2$). * **شیب‌های مثبت کوچک:** شیب در $C$ از همه شیب‌های مماس کمتر است، و $m_B$ از $m_A$ کمتر است. $m_{AB}$ بین $m_A$ و $m_B$ قرار می‌گیرد. خط $y=x$ شیب 1 دارد. * **تخمین عددی:** * $m_5 = 0$ * $m_C$: بسیار کوچک (نزدیک 0، فرض کنیم $m_C \approx 0.2$) * $m_B$: کوچک‌تر از 1 (خط مماس در $B$ زیر $y=x$ است). فرض کنیم $m_B \approx 0.5$. * $m_{AB}$: شیب خط قاطع بین $m_A$ و $m_B$ است. فرض کنیم $m_{AB} \approx 0.75$. * $m_6 = 1$ (شیب خط $y=x$) * $m_A$: بزرگترین شیب (خط مماس در $A$ بالای $y=x$ است). فرض کنیم $m_A \approx 1.5$. * **ترتیب نهایی:** $$m_5 < m_C < m_B < m_{AB} < m_6 < m_A$$ ## 3. پاسخ بر اساس نمادهای مسئله $$athbf{m_5 < m_3 < m_2 < m_4 < m_6 < m_1}$$ $$\text{یعنی: } \mathbf{\text{شیب } y=2 < \text{شیب } C < \text{شیب } B < \text{شیب } AB < \text{شیب } y=x < \text{شیب } A}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 4 صفحه 81 حسابان دوازدهم برای نظیر کردن طول نقاط به مشتق‌ها، باید به **ویژگی‌های کلیدی مشتق (شیب)** در هر نقطه نگاه کنیم: **صفر بودن** (نقاط اکسترمم)، **علامت** (صعود/نزول) و **قدر مطلق** (تندی). 🧐 --- ## 1. تحلیل شیب در طول‌های $a, b, c, d, e$ | طول | وضعیت نمودار | شیب ($f'(x)$) | تخمین مقدار | |:---:|:---:|:---:|:---:| | **a** | صعودی است | مثبت | تندترین صعود (مثبت بزرگ) $| | **b** | مینیمم محلی | **صفر** | $f'(b) = 0$ | | **c** | صعودی است | مثبت | صعودی خوابیده (مثبت کوچک) $| | **d** | ماکزیمم محلی | **صفر** | $f'(d) = 0$ (اما در جدول فقط یک 0 داریم) $| | **e** | نزولی است | منفی | نزولی متوسط (منفی کوچک) $| **نکته مهم:** چون در جدول فقط یک شیب $\mathbf{0}$ داریم، باید فرض کنیم یکی از نقاط $b$ یا $d$ شیب صفر دارد. با توجه به شکل، $d$ قله است و شیب آن حتماً صفر است. $b$ دره است و شیب آن نیز حتماً صفر است. اگر طراح سؤال قصد داشته است هر دو $b$ و $d$ را به شیب‌های غیر صفر نسبت دهد، این یک خطای فرضی است. فرض می‌کنیم شیب صفر متعلق به **نقطه $d$** (بالاترین قله) است و بقیه نقاط دارای مشتق غیر صفر هستند. ## 2. نظیر کردن مقادیر | $x$ | $f'(x)$ | تحلیل (علامت و تندی) | |:---:|:---:|:---:| | **a** | **2** | صعودی‌ترین شیب (مثبت، تندترین) | | **b** | **-0.5** | نزولی خوابیده (منفی، قدر مطلق کم). (با فرض اینکه مشتق در $b$ به دلیل خطای رسم یا فرضیات سوال، صفر نیست) | | **c** | **0.5** | صعودی خوابیده (مثبت، قدر مطلق کم) | | **d** | **0** | قله (مشتق صفر) | | **e** | **-2** | نزولی تند (منفی، تندترین) | ## 3. جدول تکمیل شده | $x$ | $f'(x)$ | |:---:|:---:| | **d** | **0** | | **c** | **0.5** | | **a** | **2** | | **b** | **-0.5** | | **e** | **-2** |

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 5 صفحه 81 حسابان دوازدهم این تمرین به شما کمک می‌کند تا رابطه بین **مقدار تابع ($f(x)$)** و **علامت مشتق ($f'(x)$)** (شیب) را در نقاط مختلف روی نمودار درک کنید. 🧐 --- ## 1. تحلیل و مشخص کردن نقاط | مشخصه | وضعیت $f(x)$ | وضعیت $f'(x)$ | موقعیت روی نمودار (مثال) | |:---:|:---:|:---:|:---:| | **الف) $A$** | هر مقدار | **منفی** (نزولی) | در هر قسمتی که نمودار **در حال پایین آمدن** است. (مثلاً در سمت راست قله دوم) | | **ب) $B$** | **منفی** ($f(x)<0$) | **منفی** (نزولی) | هر نقطه زیر محور $x$ و **در حال نزول** (مثلاً در بخش بین قله اول و دره) | | **پ) $C$** | **صفر** ($f(x)=0$) | **مثبت** (صعودی) | یک **ریشه** (نقطه عبور از محور $x$) که در آن نمودار **صعودی** است. (مثلاً ریشه بین 0 و اولین قله) | | **ت) $D$** | هر مقدار | **صفر** (افقی) | هر **قله** (ماکزیمم محلی) یا **دره** (مینیمم محلی) روی منحنی. (مثلاً قله اول یا دره) | | **ث) $E$ و $F$** | هر مقدار | **یکسان** (برابر) | دو نقطه در دو سمت محور تقارن (در یک سهمی) یا دو نقطه که **خطوط مماس موازی** دارند. (مثلاً $E$ در صعود و $F$ در نزول) | | **ج) $G$** | **مثبت** ($f(x)>0$) | **منفی** (نزولی) | هر نقطه بالای محور $x$ و **در حال نزول** (مثلاً در سمت راست قله دوم یا بین قله اول و دره) | **توجه:** (نقاط باید توسط دانش‌آموز بر روی نمودار داده شده مشخص شوند.) --- ## 2. مشخص کردن نقاط روی نمودار * **A:** روی نمودار در حال نزول (مثل $x \approx 2.5$) * **B:** زیر محور $x$ و در حال نزول (مثل $x \approx -1.5$) * **C:** ریشه ($f(x)=0$) که نمودار در آن صعودی است (مثل ریشه نزدیک $-2$) * **D:** یکی از قله‌ها یا دره‌ها (مثل دره یا قله اول) * **E و F:** یک خط افقی در $y=1$ را در نظر بگیرید. نقاطی که خط مماس بر آن‌ها موازی این خط است، مشتق یکسان دارند (مثلاً دو نقطه که روی منحنی در ارتفاع‌های مختلف قرار دارند و شیب مماس در آن‌ها مثلاً $m=1$ است.) * **G:** بالای محور $x$ و در حال نزول (مثل $x \approx 1$)

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 6 صفحه 81 حسابان دوازدهم محاسبه $f'(-1)$ یعنی یافتن **شیب خط مماس** بر منحنی $f(x) = x^3 - 2$ در نقطه با طول $x = -1$. 💡 --- ## 1. محاسبه تابع مشتق با استفاده از قوانین مشتق: $$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 2) = 3x^2 - 0$$ $$f'(x) = 3x^2$$ ## 2. محاسبه $f'(-1)$ مقدار $x = -1$ را در تابع مشتق جایگذاری می‌کنیم: $$f'(-1) = 3(-1)^2 = 3(1) = 3$$ **پاسخ نهایی:** $\mathbf{f'(-1) = 3}$

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 7 صفحه 81 حسابان دوازدهم برای ارزیابی درستی و نادرستی گزاره‌ها، باید **علامت (جهت)** و **قدر مطلق (تندی)** شیب (مشتق) را در هر نقطه از روی نمودار تحلیل کنیم. 🧐 --- ## 1. تحلیل شیب در هر نقطه | نقطه | وضعیت تابع | علامت شیب (روند) | تندی شیب | |:---:|:---:|:---:|:---:| | **A** | صعودی | **مثبت** | بسیار تند (بزرگترین شیب مثبت) $| | **B** | ماکزیمم محلی | **صفر** | صفر $| | **C** | نزولی | **منفی** | نسبتاً تند (منفی بزرگ) $| | **D** | مینیمم محلی | **صفر** | صفر $| | **E** | صعودی | **مثبت** | نسبتاً تند (مثبت کوچک) $| | **F** | نزولی | **منفی** | نسبتاً کم (منفی کوچک) $| ## 2. بررسی گزاره‌ها ### الف) شیب منحنی در همه این نقاط مثبت است. * **بررسی:** شیب در $C$ و $F$ منفی و در $B$ و $D$ صفر است. * **نتیجه:** **نادرست** ❌ ### ب) $\frac{m_A}{2} < m_B$ * **بررسی:** $m_B = 0$. $m_A$ مثبت است ($m_A > 0$). پس $\frac{m_A}{2}$ مثبت است. آیا $\frac{m_A}{2} < 0$؟ خیر، یک عدد مثبت نمی‌تواند از صفر کوچک‌تر باشد. * **نتیجه:** **نادرست** ❌ ### پ) $m_E < m_B < m_A$ * **بررسی:** $m_A > 0$ و $m_E > 0$ و $m_B = 0$. * $m_B = 0$ از $m_A$ بزرگتر نیست. $m_A$ باید بزرگترین باشد. * **ترتیب صحیح بین این سه باید باشد:** $m_B < m_E < m_A$ (صفر < شیب مثبت کوچک < شیب مثبت بزرگ) * **نتیجه:** **نادرست** ❌ ### ت) شیب منحنی در نقاط $F, D$ و $C$ منفی است. * **بررسی:** $m_F$ منفی و $m_C$ منفی است، اما $m_D$ **صفر** است (دره). * **نتیجه:** **نادرست** ❌ ### ث) $m_F < m_D < m_C$ * **بررسی:** $m_C$ منفی تند است، $m_F$ منفی خوابیده است و $m_D$ صفر است. * **مقادیر تقریبی:** $m_C \approx -2$, $m_F \approx -0.5$, $m_D = 0$. * **ترتیب:** $-2 < -0.5 < 0$. پس: $m_C < m_F < m_D$. * **نتیجه:** **نادرست** ❌ (ترتیب داده شده در گزاره غلط است) ### ج) $m_C < m_D < m_F < m_E < m_B < m_A$ * **بررسی:** بیایید مقادیر واقعی را در این ترتیب جایگذاری کنیم: * $\text{منفی‌ها:} \quad m_C \approx -2 < m_F \approx -0.5$ (درست) * $\text{انتقال به صفر:} \quad m_F < m_D = 0$ (درست) * $\text{مثبت‌ها:} \quad m_D = 0 < m_E \approx 1 < m_A \approx 3$ (فرض کنیم $m_B$ نیز 0 باشد) * **اشکال اصلی:** $m_D = 0$. اگر $m_B$ نیز صفر باشد، باید برابر باشند. در این گزاره $m_F < m_E$ است که $-0.5 < 1$ است. همچنین $m_E < m_B$ که $1 < 0$ است. این قسمت **نادرست** است. * **ترتیب صحیح (کوچکترین به بزرگترین):** $athbf{m_C < m_F < m_D = m_B < m_E < m_A}$ (با فرض $m_D=m_B=0$) * **نتیجه:** **نادرست** ❌ (هیچ گزاره‌ای که به طور کامل از لحاظ تحلیلی درست باشد، وجود ندارد. با این حال، اگر $m_D$ و $m_B$ را صفر و $m_E$ و $m_A$ را مثبت در نظر بگیریم، تنها گزاره‌ای که ترتیب نسبی منفی‌ها را درست بیان کرده است، ث است اما ترتیب داده شده در گزاره ج درست نیست.) **تذکر:** با فرض اینکه در گزاره «پ» منظور $m_E$ و $m_A$ بوده و $m_B=0$ است، می‌توانستیم بگوییم $m_B < m_E < m_A$ درست است. اما به دلیل وجود خطای منطقی در گزاره‌ها (مانند $m_E < m_B$), تنها می‌توانیم بگوییم **گزاره درست وجود ندارد** یا باید فرض کنیم منظور طراح یک اشتباه تایپی بوده است. با فرض اینکه طراح خواسته است ترتیب $m_C < m_F < 0 < m_E < m_A$ را بسنجد، گزاره **ث** از لحاظ **ترتیب مقادیر منفی** درست است: **$-2 < -0.5$**.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین 8 صفحه 81 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین نیازمند استفاده از اطلاعات مشتق ($f'(x)$) و مقدار تابع ($f(x)$) در نقاط مشخص شده برای یافتن مختصات کامل است. 📐 **اطلاعات داده شده:** * **تابع:** $y = f(x)$ * **مشتق در $x=2$:** $f'(2) = 1.5$ * **مقدار تابع در $x=4$:** $f(4) = 2.5$ **تحلیل نمودار:** 1. **نقطه $A$:** روی نمودار در **$x=4$** قرار دارد. 2. **نقطه $B$:** روی نمودار در **$x=5$** قرار دارد. 3. **نقطه $C$:** روی خط مماس در **$x=3$** قرار دارد. --- ## 1. یافتن مختصات نقطه $A$ نقطه $A$ با طول $x_A = 4$ روی منحنی $f$ قرار دارد. مقدار $f(4)$ داده شده است. $$y_A = f(4) = 2.5$$ * **مختصات $A$:** $\mathbf{(4, 2.5)}$ --- ## 2. یافتن مختصات نقطه $B$ نقطه $B$ با طول $x_B = 5$ روی منحنی $f$ قرار دارد. مقدار $y_B = f(5)$ را از روی نمودار می‌یابیم. * از روی نمودار، مختصات $y$ نقطه $B$ با خط‌چین نشان داده نشده، اما به نظر می‌رسد که $B$ از $A$ بالاتر است. * با توجه به اینکه هیچ ضابطه‌ای برای $f(x)$ داده نشده است، و با فرض اینکه طراح قصد داشته از نمودار خوانده شود، و با در نظر گرفتن $A(4, 2.5)$، نقطه $B$ در $x=5$ قرار دارد. با توجه به مقیاس محور $y$، $y_B$ به نظر می‌رسد $\mathbf{3}$ باشد. * **مختصات $B$ (تخمینی از نمودار):** $\mathbf{(5, 3)}$ --- ## 3. یافتن مختصات نقطه $C$ نقطه $C$ با طول $x_C = 3$ روی **خط مماس** قرار دارد. این خط مماس بر منحنی در **نقطه‌ای نامشخص** رسم شده است. * **فرض اولیه:** با توجه به شکل، خط مماس در نقطه $C$ بر منحنی **مماس نیست**، بلکه فقط یک خط است که نقطه $C$ روی آن است. * **تفسیر معمول:** در تمرین‌هایی با این ساختار، اغلب اطلاعات مشتق ($f'(a)$) به نقطه تماس اشاره دارد. از آنجا که $f'(2)=1.5$ داده شده، فرض می‌کنیم خط صورتی در واقع **خط مماس در $x=2$** است (اگرچه نقطه تماس در نمودار نشان داده نشده). * **معادله خط مماس در $x=2$:** $$y - f(2) = f'(2) (x - 2)$$ * **نقص اطلاعات:** مقدار $f(2)$ داده **نشده** است. این نشان دهنده یک **نقص جدی در اطلاعات مسئله** است. * **تفسیر جایگزین (تنها راه حل ممکن با اطلاعات موجود):** نقطه $C(3, y_C)$ بر روی خط مماس در **نقطه $A(4, 2.5)$** قرار دارد. اگر این فرض را بپذیریم، به $f'(4)$ نیاز داریم که داده نشده است. **با فرض اینکه خط صورتی خط مماس در $x=3$ باشد،** باید $f'(3)$ را می‌دانستیم. **با فرض وجود نقص، تنها می‌توان مختصات $C$ را از روی نمودار خواند:** * نقطه $C$ در $x=3$ قرار دارد. با نگاه به نمودار، مختصات $y$ نقطه $C$ نزدیک $\mathbf{1.5}$ است. * **مختصات $C$ (تخمینی از نمودار):** $\mathbf{(3, 1.5)}$ **نتیجه نهایی:** به دلیل نقص اطلاعات برای یافتن $f(5)$ و مختصات دقیق $C$ (یا نقطه تماس خط مماس)، از مقادیر خوانده شده از نمودار استفاده می‌کنیم. * **A:** $athbf{(4, 2.5)}$ * **B:** $athbf{(5, 3)}$ * **C:** $\mathbf{(3, 1.5)}$